摘要: Lurie控制系统是一类非常典型的非线性控制系统,本篇文章主要针对几类滞后型Lurie控制系统,进行探讨了他们的绝对稳定性问题。
Abstract: Lurie control system is a kind of typical nonlinear control system. This article mainly for several classes of time-delay Lurie control system, discussed the problem of their absolute stability.
关键词: Lurie控制系统;滞后型;绝对稳定性
Key words: Lurie control systems;time-delay;absolute stability
中图分类号:TP13 文献标识码:A 文章编号:1006-4311(2014)15-0192-02
1 历史背景
Lurie型控制系统的发展比较迅速,我们可以追溯到上个世纪四十年代飞机驾驶仪制的研究问题上。当时是由苏联的控制论专家Lurie和Postnikov经过大量的实际操作从控制系统出发,特别是对飞机自动驾驶仪By?仔ra?资oB的问题进行研究,以此将系统中非线性部分孤立出来,以此视为反馈控制,这样就会形成系统中的闭环系统,建立比较广泛的非线性控制系统[1]x(t)=Ax(t)+bf(?滓(t))?滓(t)=cTx(t)=■cixi(1)
其中x(t)是状态变量,c,b∈Rn是已知向量,?滓是反馈控制输出变量,A=(aij)n×n是已知系数矩阵,f(?滓)属于某类非线性连续函数但具体形式未知,也就是说在系统(1)中,非线性部分f(?滓)不是完全确定的,即其具体特性不是很清楚,或者存在许多不确定的干扰而难以掌握这类系统,但这类系统都可以归纳为Lurie型系统。在研究过程中,非线性函数f(·)∈F∞(或F[0,k),或F[0,k]),其中
F∞={f(·)|f(0)=0;?滓f(?滓)>0,?滓≠0,f连续},
F[0,k)={f(·)|f(0)=0;0<?滓f(?滓) F[0,k]={f(·)|f(0)=0;0<?滓f(?滓)?燮k?滓2,?滓≠0,f连续}。 若对任意f(·)∈F∞(或F[0,k),或F[0,k]),系统(1)的零解都是全局渐近稳定的,则系统(1)绝对稳定[1]。绝对稳定性的定义使问题大大简化了,因为这时f(·)∈F∞(或F[0,k),或F[0,k]),允许非线性函数f(?滓)线性化了,这也是解决问题的一种手段。对于系统(1)的绝对稳定性问题已经得到了充分的研究,建立了一系列的充分性判别条件[1-4]。 数学模型(1)是根据Maxwall对Watt离心调速器的工作原理的研究中抽象出的微分方程提出来的。 ■=a11x1+a14x4■=x3■=a31x1+a32x2+a33x3■=f(?滓)?滓=c1x1+c2x2,f(0)=0,?滓f(?滓)>0,?滓≠0(2) Maxwall在研究系统(2)时,是寻找系统(2)平衡位置全局稳定的条件。Lurie提出飞机自动驾驶仪数学模型(1)后,也是寻找系统(1)平衡位置全局稳定的条件,这就是所谓著名的鲁里叶问题。 2 发展概况 自Lurie等提出数学模型(1)后,吸引了很多国内外学者的注意。Lurie控制系统的绝对稳定性研究有了很大的发展,大致经历了两个阶段:①Lyapunov函数方法,Lurie关于非线性控制系统绝对稳定性理论,虽然取得了显著发展,但他建立的绝对稳定性判据作为二次代数方程组的可解性问题在系统维数较多时却遇到了很大的困难;②由罗马尼亚科学家Popov于1961年首次提出的频域方法,这种方法开创了研究Lurie系统绝对稳定性问题的新局面。其主要方法可归为:1)鲁里叶开创的以李亚普诺夫方法为基础的代数判据,也就是直接寻找Lyapunov函数存在的条件;2)波波夫开创的以频域方法为基础的几何判据,包括波波夫判据、圆判据、抛物线判据、偏轴圆判据等,这些方法散见于近年来国内外有关研究成果中,其中Popov V M, Malanay在文献[1]中给出带有时滞的Lurie直接控制系统的绝对稳定性的频率判据;Somolines A和阮炯分别在文中用二次型加积分项的Lyapunov泛函给出了时滞系统绝对稳定性的一些充分条件。 本文所提到的Lurie型系统均是常时滞常系数的,主要是对某些实际的系统进行控制的,一般都是控制系统的理想化模型。由于模型的简化、非线性的线性化、系统中元器件的老化等原因,使得实际被控对象的数学模型发生变化而导致模型的误差。这些模型误差一般体现在系统各项系统及系统时滞会随时间的变化而变化,且这种变化或许是有限的亦或是无限的,针对这类问题也有不少研究成果。 3 相关研究成果的推广 ①具有时滞控制器的Lurie系统相对稳定性突出。 其中考虑系统 ■■(t)=■[bki?浊i(t)+cki?浊i(t-?子ki)]+■[dkj?孜j(t)+ekj?孜j(t-?子k)](k=1,2,…,n)■j(t)=fj(?滓j(t))?滓j(t)=■[pji?浊i(t)+qji?浊i((t-■ji)]-■[rjl?孜l(t)-sjl?孜l(t-■j)](j=1,2,…,m)(3) 利用M-矩阵的性质,并构造出合适的Lyapunov泛函得到系统(3)相关结论,它是文献[2]的推广,相关证明过程详见文献[3]。 ②变时滞变系数非线性Lurie控制系统的绝对稳定性。
考虑系统
■k(t)=■[bki(t)xi(t)+cki(t)xi(t-?子i(t))] +■[dkj(t)fj(?滓j(t))+ekj(t)fj(t-?子j(t))](k=1,2,…,n)■j(t)=■[pij(t)xi(t)+qji(t)xi(t-■i(t))] +■[rjl(t)fl(?滓l(t))+sjl(t)fl(?滓l(t-■l(t))](j=1,2,…,m)x(t)=?渍(t),t∈(-∞,0](4)
并给出系统(4)绝对稳定的几个充分条件,本结论是文献[6]的推广,相关证明过程详见文献[4]。
③一类非线性时滞Lurie控制系统的绝对稳定性。
考虑系统
■k(t)=■bkixi(t)+Fk(t,x1(t),…,xn(t);x1(t-?子k1),…,xn(t-?子kn); f1(?滓1(t)),…,fm(?滓m(t));f1(?滓1(t-?子1)),…,fm(?滓m(t-?子m)),■j(t)=Gj(t,x1(t),…,xn(t);x1(t-■j1),…,xn(t-■jn)) -■[rjlfl(?滓l(t))-sjlfl(?滓l(t-■l))](k=1,2,…,n;j=1,2,…,m)(5)
并给出系统(5)绝对稳定的充分条件,本结论是文献[7]的推广,相关证明过程详见文。
4 发展趋势
在对滞后型Lurie系统进行研究过程中发现,实际上的控制系统与理想模型还有很大差异,诸多问题有待于解决:①在实际上的控制系统中,系统状态的变化速度可能会含一定的滞后性;②当滞后和结构扰动存在实际系统中后,都会造成系统的不稳定性,这也是重要因素之一;③脉冲瞬动现象大多数都存在于控制系统中,因此脉冲型Lurie系统在实际系统中也是普遍存在的。综上,就其实际应用而言,Lurie系统的前景是相当广阔的。
参考文献:
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