摘 要: 极限理论描述了变量在无限变化过程中的变化趋势,是高等数学的最重要的内容之一,是构成微积分的基础。在高等数学教学中,向学生系统介绍极限的产生渊源、发展过程、极限中的辨让思想、极限思想在微积分学习过程中的作用是十分必要的。
关键词: 极限理论 高等数学教学 渗透
极限理论就是人们认识无限变化的伟大思想,这种思想和方法的运用,扩大了人们的思维空间。同时极限也是微积分中最基本、最重要的概念,它从数量上描述变量在无限变化过程中的变化趋势,是构成微积分的基础。微积分中的许多概念,如连续、导数、定积分等都建立在极限的基础上。那么如何在高等数学教学中渗透极限这一伟大思想呢?我认为,向学生系统介绍极限的产生渊源、发展过程、极限中的辩证思想、极限思想在微积分中的作用是十分必要的。
1.极限理论的产生
极限的思想和方法是社会实践的产物,其萌芽可以追溯到古代。在古代希腊、中国和印度数学家的著作中,已不乏朴素的极限思想,如用无限趋近概念计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。在中国,公元前5世纪,战国时期的《庄子·天下篇》中就有一段话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”这是我国较早出现的极限思想,而这正是数列{}的极限内涵。又如公元3世纪,我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”。他的极限思想是“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失”。他第一个创造性地将极限思想应用到数学领域,这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础。刘徽首先考虑圆内接正六边形面积,接着是正十二边形面积,然后依次加倍边数,则正多边形面积愈来愈接近圆面积。按照这种思想,他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积,得到圆周率的近似值3.14,之后又算到内接正3072边形时得到π≈3927/1250≈3.1416,这在当时是非常了不起了。再如古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想。
2.极限理论的发展
极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相连的。微积分思想,源自古希腊人的穷竭法。古希腊最接近积分的是阿基米得于公元前225年求抛物线弓形面积的方法,他在抛物线弓形与其内接最大的三角形的每一个空间中又内接一个新的三角形,这个三角形与剩余空间同底同高,这样无限进行下去,最后的三角形就非常小了,他的方法实际上也是无穷级数求和最早的例子。
到了16世纪以后,欧洲处于资本主义的萌芽时期,生产力得到极大发展。生产和科学技术中存在大量的变量问题,如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题等,初等数学方法对此越来越无能为力,需要的是新的数学思想、新的数学方法,突破只研究常量的传统范围,提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具,这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分,给出了数列极限的描述性定义:“如果当n无限增大时,a无限地接近于常数A,那么就说a以A为极限。”
之后,维尔斯特拉斯为了排除极限概念中的直观痕迹,建立的ε-N语言,给微积分提供了严格的理论基础。所谓a以A为极限,就是指:“如果对任何ε>0,总存在自然数N,使得当n>N时,不等式|a-A|<ε恒成立。”
这个定义,借助不等式,通过和之间的关系,定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系。因此,这样的定义是严格的,可以作为科学论证的基础,至今仍在数学分析书籍中被广泛使用。
3.极限中的辩证思想
极限思想是一种重要的数学思想,它蕴涵着丰富的辩证思想,反映了数学发展的辩证规律,即极限思想是过程与结果、有限与无限、近似与精确的对立统一。
在极限思想中充分体现了结果与过程的对立统一。比如,当n趋于无穷大时,数列{}的极限为0。一方面,数列{}中任何一项无论n多大都不是0,体现了过程与结果的对立性。另一方面,随着n无限增大,其项越来越靠近0,经过极限可转化为0,体现了过程与结果的统一性。所以极限思想是过程与结果的对立统一。
有限与无限常常表现为不可调和性。例如,把有限情形的法则原封不动地扩展到无限的情形常常会发生矛盾。但这并不意味着在极限的观念里有限与无限是格格不入的,相反极限思想是有限与无限的对立统一。
近似与精确是对立统一关系,两者在一定条件下也可相互转化,这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。数学中的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”,分别是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值,取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法,从近似来认识精确的。这反映了极限思想是近似与精确的对立统一。
又如曲线形与直线形有着本质的差异,但在一定条件下也可相互转化,正如恩格斯所说:“直线和曲线在微分中终于等同起来了。”善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。我们就是从直线形来认识曲线形的。
4.极限理论在微积分中的作用
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说在数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。例如微积分中许多概念都把极限作为描述不同特性的重要工具,例如函数f(x)在x点连续的定义、函数f(x)在x点导数的定义、函数f(x)在[a,b]上的定积分的定义、数项级数的敛散性、广义积分的敛散性等,都是用极限来定义的,可以说这些概念确定了微积分学的框架。
极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法,也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题(例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题),正是由于它包含了极限的思想方法。
参考文献:
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[2]梁宗巨.世界数学史简编[M].沈阳:辽宁人民出版社,1980.
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