[摘要]数学分析这门课程研究的对象是函数,而研究函数的方法就是极限,所以极限是高等数学基本概念和核心内容之一。数学分析几乎所有的概念都离不开极限,从方法论的角度讲,用极限方法来研究函数,这是数学分析区别于初等数学的显著标志,而求数列或函数的极限,一般来说是比较困难的问题,而极限理论是数学分析和高等数学的基础理论,所以寻求求极限的方法的问题显的十分重要。因此,弄清极限概念,熟练掌握极限的计算方法,对于学好高等数学是十分必要的,现根据平常学习中所得,将积累的一些方法做一归类。
[关键词]极限 函数 计算方法
[中图分类号]O151[文献标识码]A[文章编号]1009-5349(2010)06-0042-02
一、利用定义求极限
极限定义:
说明:1. 中的ε也可以是ε的常数倍ε•M;
2.由可知是有界数列(因为在
的外部仅有N项,在这有限项中必有M和m,从而是有界的);
3.的几何意义及否定叙述:除了 外的有限项N外,所有下标大于N的项都落在领域内;
否定叙述:
,有
小结:利用定义证明极限就必须注意,N和X的关键作用,只有当n>N或x>X时,才有估计式 或
,因而产生了利用定义证明极限的分段估值法。
二、利用定理求极限
柯西收敛准则:数列{ }收敛的充要条件是:对
,总存在某一个自然数N,使得:当n,m>N时,都要
小结:柯西收敛准则所反映的事实:“收敛数列各项的值愈到后面,彼此愈是接近。以至它们之间的差的绝对值可小于任何预先所给的正数。”斯笃兹定理是解决 与型极限的重要工具,适用于离散情形。
三、洛必达法则
1.,2..
f(x),g(x)在点a的某空心领域内可导,且
,且 则:
f(x),g(x)在 内可导,且, ,
则:
3.类似有单侧极限的不定式的洛必达法则
小结:洛必达法则是数学分析中解决 与 型极限的重要工具,适用于连续情形。
四、利用泰勒公式求极限
常用的泰勒公式有:
小结:这种方法是利用泰勒公式将函数展开后直接代入或经过变换后代入要求的极限式中,使得原来的极限问题转化成多项式或有理分式的极限。
五、利用两边夹法则求极限
定理1.对于数列{xn}、{yn}、{zn},如果存在某一自然数N1,使当n>N时,有xn≤yn≤zn,并且
则 。
定理2.如果对于点x0的某一领域内的一切x ,但x0本身可以除以(或对于绝对值大于某一正数的一切x )有不等式
g(x )≤f(x )≤h(x )成立,而且 ,
则。
小结:这一方法也称为夹逼法,它是利用不等式的极限定理来计算极限运用这一法则,不仅可判定数列或函数的极限存在性,而且能求得其极限值,使用两边夹法则求数列和函数的极限,关键在于把xn或f(x )适当放大或缩小,所谓适当放大与缩小是指:放大缩小后,保证所选的数列{yn}与{zn}或所选的函数g(x )与h(x )有相同的极限。
六、利用数列的递推关系求极限
1.利用递推关系求出通项公式,然后求极限。这是基本的方法,它把极限存在性与极限求值问题一起来解决。
2.如果数列极限存在设为A,则根据递推公式求出A。令数列的第n项记为,于是利用无穷小和极限的关系,只须证明 ,便可推知数列的极限确实存在并且等于A。
七、级数法
我们知道,如果级数收敛,则 ,这个条件叫做级数收敛的必要条件。当数列极限不易求出,如果可以把这数列的通项看成是某级数的通项,而对此数列的收敛性的判别又比较容易时,则由级数收敛的必要条件就立即求得数列的极限。又如,对于数列{xn},有
(其中设x0=0),于是,求 的问题就转化为求级数
的和了。
小结:这是一种应用级数理论中某些结论求极限的方法。
八、无穷小代换法
用等价无穷小量替代法化简,必须记牢下述等价无穷小量:当 时:
sinx~x , tanx~x , arcsinx~x , arctanx~x-1~x ,
ln(1+x)~x , 1-cosx~,~x
小结:运用此法时必须注意:加减项的无穷小量不能用等价无穷小量代换,必须是两个无穷小量之比的形式或无穷小量作为极限式中的乘积因子,且代换后的极限存在,才能使用等价无穷小量代换法。
【参考文献】
[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].1997.
[2]胡适耕.大学数学解题艺术.湖南大学出版社.
[3]曹敏谦.数学分析习题集题解.上海交通大学应用数学系.
[4]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1998.
[5]钱吉林.数学分析题解精粹.崇文书局.