摘 要:以基线力为状态变量表征物体的受力状态,针对4节点基面力元的性能进行数值研究,运用Matlab语言编制有限元程序,并与理论解和Q4解进行了对比和讨论。
关键词:基线力 有限元 余能 柔度矩阵
中图分类号:O343文献标识码:A文章编号:1672-3791(2011)04(c)-0005-02
2003年高玉臣[1]基于基面力的概念给出了推导空间任意多面体单元刚度矩阵和柔度矩阵显式表达式的思路,为基面力的概念在有限元领域的应用奠定了理论基础。彭一江[2]从2003年开始从事基面力元法的研究,在基面力元法模型研究、软件开发和基面力元性能分析方面进行了一些前期的基础研究和开发工作。2006年彭一江和金明[3]利用Lagrange乘子法推导出线弹性问题的余能原理有限元控制方程;2009年彭一江和雷文贤[4]推导出具有边中节点的四边形基面力元的柔度矩阵展开式及矩阵表达式,应用这些程序计算了线弹性问题。但针对平面4节点余能有限元模型的计算性能还有待于进一步考核。
本文将针对4节点基面力元的计算性能进行数值研究,分析该方法的精确性和稳定性。
1 基线力的概念
考虑二维弹性体区域,表示变形后的径矢,表示Lagrange坐标,则变形后的基矢为
(1)
为了描述点附近的应力状态,在向量,上作一个平行四边形微元。将基线力[5]定义为
(2)
其中约定。
2 余能原理基面力元控制方程
余能原理有限元的控制方程是下列泛函的约束极值问题
(3)
利用Lagrange乘子法,放松平衡条件约束,可得系统的修正泛函为
(4)
泛函的驻值条件为
(5)
由式(6)得到一组线性方程组
(6)
求解上述线性方程组,得到各单元的面力。节点位移可由各单元的支配方程求得
(7)
3 应用算例
算例1:悬臂梁承受集中力作用问题
如图1所示,,,, ,,。有限元网格如图2所示,文献[6]给出了位移理论解和应力理论解。
本文解、理论解和Q4解的比较绘于图3、图4,可以看出,本文计算结果与理论解比较吻合,具有较高的计算精度。
算例2:悬臂梁承受均布荷载作用问题
如图5所示,,,, ,,。本算例中将讨论单元长宽比以及网格畸变对悬臂梁自由端挠度计算精度的影响。各种计算网格如图6所示,有限元分析精度如表1和表2所示。
以上分析可以看出,本文解与理论解相吻合,且对网格的畸变不敏感。
4 结语
本文以基线力为状态变量,针对基于余能原理的平面4节点有限元模型的性能进行数值研究。数值研究表明:该模型具有较高的计算精度,对网格畸变不敏感。
参考文献
[1]Gao Y C.A new description of the stress state at a point with applications.Archive Appl Mech,2003.
[2]彭一江.基于基面力概念的新型有限元方法[D].北京交通大学博士学位论文,2006.
[3]彭一江,金明.基于基面力概念的一种新型余能原理有限元方法[J].应用力学学报,2006,23(4):649~652.
[4]彭一江,雷文贤,彭红涛.基于基线力概念的平面4节点余能有限元模型[J].北京工业大学学报,2009.
[5]高玉臣.固体力学基础[M].北京:中国铁道出版社,1999.
[6]Timoshenko S P, Goodier J N.Theory of Elasticity. 3th ed. New York: McGraw-Hill Inc.,1970.